СОЗДАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ИНСТРУМЕНТОВ ТРИЗ ОБРАЗНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Необходимость новых методик, приёмов, упражнений в обучении возникает тогда, когда в школе у детей появляются затруднения. Учебные проблемы в математике начальных классов обычно выражаются словами: "Дети плохо считают".

С такой формулировкой проблемы не решишь. Чтобы с ней справиться, нужно, как говориться в ТРИЗ [1], привести проблемную ситуацию к мини-задаче. Предлагаю вам с помощью инструментов ТРИЗ проделать это для данной проблемы: выйдем на мини-задачи и решим их.

Под ситуацией "Дети плохо считают" чаще всего подразумевается умение производить арифметические действия в уме в пределах сотни.

1-й шаг.

Определим, какими путями закладывается это умение:

• действиями с количественными образами;
• действиями с числами и цифрами.

Первый путь стал основой программ раннего развития детей в институте им. И.Томаса (США) [3]. По нему сделана Б.П.Никитиным игра "Точечки" [4].

Суть данного направления в том, что дети производят математические действия с количеством предметов, а не с обозначающими их числами.

Второй путь основывается на знании таблиц сложения и умножения. Он наиболее распространён в учебных заведениях с классно-урочной системой обучения. Навык отрабатывается выучиванием таблиц и решением большого количества примеров. Такой путь абстрактен и вызывает у многих детей трудности в заучивании таблиц и в выполнении математических действий.

С данной проблемой хорошо знакомы учителя начальных классов, которые очень часто переводят действия с числами (т.е. с абстракциями) в действия с предметами ("яблоками", "конфетами" и т.п.). Таким образом, они переходят на первый путь - на действия с количественными образами.

Исходя из вышесказанного, делаем
2-й шаг. Формулируем задачу перехода от первого вида действий ко второму: абстрактные числовые выражения превратить в действия с количественными образами.

Проще говоря, это значит, что абстрактный математический материал должен быть представлен в образной форме. Данная задача решается многими учителями, методистами, учёными, писателями, поэтами, художниками.

3-шаг. Минимизируем систему. Для этого необходимо "вывести учителя" из процесса перехода от абстракций к количествам. Ученик САМ может превращать абстрактный материал в действия с количественными образами.

При такой постановке задачи, решения принимают вид художественно оформленных рабочих тетрадей для детей.

4-шаг. Определим, что должно быть в таких рабочих тетрадях, т.е. их содержание:

• абстрактный материал в виде числовых выражений;
• образный материал в количественном выражении.

Работаем по очереди с каждым типом содержания.
Шаг 5.1. Абстрактный материал. Описать его части и требования к ним.

a) Числовые выражения, например: 8 + 7; 11 - 3. Они задаются извне в готовом виде и записываются, как данность.
b) Ответ. Он определяется ребёнком и имеет два качества: правильность, неправильность.

Правильность решения выражения, как правило, самим ребёнком не определяется. Это делает учитель, или ответ примера сверяется с готовым ответом.

Шаг 5.2. Действуем по правилу ИКР (идеального конечного результата). Это правило требует исключить из системы учителя и готовые ответы, а их функции передать ученикам.

Ученик должен САМ узнать о правильности или неправильности своего ответа.
Такой формулировке отвечает действие, называемое "ПРОВЕРКА".

Шаг 5.3. Определим, какие бывают виды проверки для арифметических действий.

1. Проверка обратным действием. Например, 8 + 7 = 15 проверяется 15 - 8 = 7.
2. Проверка счётом. Дети начинают про себя просчитывать число по одной единице в ту или другую сторону.
3. Ресурс для проверки заложен в правильном ответе. Например, при умножении на 9:
   2 х 9 = 18, 3 х 9 = 27, 4 х 9 = 36,... Проверка заключается в том, чтоб убедиться, что сумма цифр ответа равна 9-ти: 1+8, 2+7, 3+6,…

Шаг 5.4. Сформулируем требование к проверке по правилам ТРИЗ.
ОТВЕТ должен сам показывать правильность решения.

Очевидно, что под эту формулировку подходит только 3-й вид проверки.

Шаг 5.5. Ужесточим новой формулировкой требования к ОТВЕТУ.
Сделать неправильный ОТВЕТ невозможно.

Шаг 6.1. Опишем требования к образному материалу:

• его можно посчитать,
• его легко и быстро может сделать ученик или иметь в готовом виде.

Шаг 6.2. Выберем вид образного материала: натуральные и рисованные объекты (яблоки, конфеты, птички и т.п.); пальцы, палочки; простые знаки и фигуры (квадраты, точки, круги, линии и др.).
Выбор делаем по правилу ТРИЗ о "ресурсах", которое гласит:
"Материал должен быть в большом количестве, в готовом виде и легко доступным".

Под эту формулировку подходят следующие образы: квадраты (готовые клеточки в тетради), линии (вертикальные и горизонтальные в клетчатой тетради), точки (на пересечении линий).

Шаг 7. Перейдём к общей формулировке задачи по проблеме: "Арифметические действия с абстрактными числами" согласно шагам 3, 5, 6.

1-й вариант: действия с числами должны превращаться учениками в действия с клеточками, линиями, точками. Полученный ответ должен показывать правильность решения.

2-й вариант: действия с числами должны превращаться учениками в действия с клеточками, линиями, точками, при этом нельзя получить неправильный ответ.

Найдём решение задачи по формулировке 1-го варианта.

Шаг 8.1. Превратить ключевое слово формулировки - "ПРАВИЛЬНОСТЬ" в "ОБЪЕКТ". Описать его параметры.

Правильность определяется по совпадению результата действия с каким-либо критерием, причём для нашего случая критерий должен находиться в исходных данных решаемого выражения, т.к. мы уже определились, что нельзя пользоваться подсказками ни учителя, ни учебника. Вспомним критерий для умножения чисел на 9. Им является само число 9, получаемое суммированием чисел произведения.
2 х 8 =18 проверка 1+ 8 =9; 3 х 9 = 27 проверка 2 + 7 = 9, 4 х 9 = 36 проверка 3 + 6 = 9 и т.д.

Надо найти или создать жёсткую связь ответа с заданными числами.

Математики смогли найти такую связь для произведений на число 9. Мы не будем искать аналогичные закономерности, а создадим новые с помощью инструментов ТРИЗ, для решения данной конкретной задачи.

Шаг 8.2. Создание недостающей связи путём перехода к "БИСИСТЕМЕ".

"БИ" - значит "ДВА". В данном случае наша образная математическая модель должна состоять из двух выражений, причём второе выражение должно показывать правильность решения первого.

Такие системы уже существуют и называются ПРОВЕРКОЙ ОБРАТНЫМ ДЕЙСТВИЕМ (п.1 в шаге 5.3). Их главный недостаток в том, что проверка осуществляется также арифметическим действием. ( Пример: 6 + 4 = 10; проверка: 10 - 4 = 6).

Т.е. вид связи остаётся тем же самым.

Шаг 8.3. Нахождение нового вида связи.

Вид связи определяется параметрами количественных образов: клеточек, линий, точек и параметрами числового выражения.

Шаг 8.3.1. Определить параметры количественных образов.

Параметры должны иметь конкретные значения. Для клеточек это: размер, количество, местоположение. Для линий - длина (единица измерения - одна клеточка), количество, направление, местоположение. Для точек - количество, местоположение. (Размер точки конкретно не определим в единицах измерения).

Что выбрать? При этом надо учесть, что один из параметров будет использован для связи арифметическими действиями. Для клеточек действия могут производиться с их количеством или размером. Для линий - с количеством и размером. Для точек только с количеством.

Дадим формулировки задач для каждого количественного образа.

• Найти зависимость местоположения клеток от увеличения или уменьшения их количества или размера.
• Найти зависимость местоположения и направления линий от увеличения или уменьшения их длины или количества.
• Найти зависимость местоположения точек от увеличения или уменьшения их количества.

Вероятность найти зависимость легче там, где больше параметров и есть готовый математический инструмент. Выбираем вторую формулировку и обращаемся за помощью к векторной геометрии.

Итак, мы выбрали в качестве образного объекта ЛИНИЮ.

Теперь, чтобы создать новую связь, надо определить параметр и его характеристику, которая будет служить критерием, определяющим ПРАВИЛЬНОСТЬ решения (см. шаг 8.1.).

В нашем распоряжении местоположение и направление.

Характеристики местоположения: начало и конец.

Характеристики направления: лево, право, верх, низ, наискосок под 45 градусов.

Нагляднее фиксируется совпадения начала и конца, чем совпадение направлений.

Тогда задача для создания новой связи будет звучать так: разработать правила действий с размером и количеством линий, при которых начальное местоположение образа первого математического выражения совпало бы с конечным местоположением образа второго выражения.

Чтобы начало совпало с концом, надо менять направление в зависимости от вида арифметического действия или частей абстрактного выражения.

Шаг 8.3.2. Определить параметры абстрактного выражения.

• Арифметическое действие или названия частей (слагаемые, уменьшаемое, вычитаемое, сумма, разность, множимое, множитель, произведение, делимое, делитель, частное);
• количество частей;
• конкретные числа.

Например, для выражения 4 + 7 = 11

• названия: слагаемые и сумма;
• количество частей: 3 (два слагаемых и одна сумма);
• числа: 4, 7, 11.

Шаг 8.3.3. Связать параметры ЛИНИЙ с параметрами числового выражения.

Местоположение у нас выбрано для определения ПРАВИЛЬНОСТИ ответа.

Очевидное решение: заменять количество частей на количество линий, числа - на длину линий, а названия частей или действия на направления.

Шаг 8.3.4. Сформулировать задачу для связи двух выражений, "преобразованных" в ЛИНИИ: выбрать начало линий и их направления по названиям частей 1-го выражения так, чтобы направления и длина линий 2-го выражения привели в исходную точку.

В таком описании задачу можно привести к геометрическому виду и решать с помощью математических инструментов.

Автором была найдена геометрическая модель выражений вида: a + b = c; a - b = c.

Рассмотрим их по отдельности. Модели строятся на тетрадочном листе в клетку.

1.
a + b = c
Обозначения согласно шагу 8.3.3.

а - первое слагаемое: длина линии - а клеточек, направление слева направо;

b - второе слагаемое: длина линии b клеточек, направление снизу вверх;

с - сумма: длина линии - с клеточек, направление сверху вниз, слева направо под углом 45 градусов.

Проверочное выражение b + а = c.
Для b направление слева направо, а для а снизу вверх.
Сумма с не записывается. Если она была правильно сосчитана в 1-ом выражении, то конец второго слагаемого должен попасть в начало первого выражения.

Если решение неверно, то начало и конец не сойдутся в одной точке.

2.
a - b = c

Обозначения согласно шагу 8.3.3.

а - уменьшаемое: длина линии - а клеточек, направление вниз под 45^o;
b - вычитаемое: длина линии - b клеточек, направление слева направо;
с - разность: длина линии с клеточек, направление сверху вниз.
Проверочное выражение с + b = а.
Для с - направление слева направо, а для b снизу вверх.
Сумма а не записывается.
Если разность 1-го выражения была правильно сосчитана, то конец второго слагаемого должен попасть в начало первого выражения.

Если решение неверно, то начало уменьшаемого в исходном примере и конец второго слагаемого в примере-проверке не сойдутся в одной точке.

Данную линейную модель целесообразно использовать для чисел не более 20-ти, т.к. отрезки становятся очень длинными и неудобными для рисования и счёта.

Её можно применять для решения нескольких выражений. В этом случае она покажет правильность решения сразу всей небольшой контрольной работы.

Например, для двух выражений в 3 действия 2 + 7 - 5 и 8 + 3 - 5 решение будет иметь вид:

При правильном решении, ответ второго выражения должен совпасть с началом первого. Выполнять действия нужно следующим образом:

• нарисовать первое слагаемое (влево),
• нарисовать второе слагаемое (вверх),
• найти и нарисовать их сумму (влево-вниз),
• нарисовать вычитаемое (влево),
• найти и нарисовать ответ первого выражения (вверх),
• нарисовать первое слагаемое второго выражения (влево),
• нарисовать второе слагаемое (вверх),
• найти и нарисовать их сумму (влево-вниз),
• нарисовать вычитаемое (влево),
• найти и нарисовать ответ второго выражения (вверх).

Для тех, кто заинтересовался такой моделью, предлагается решить следующие системы выражений:

1. 4 + 2 - 1 и 3 + 5 - 6;
2. 6 + 4 - 3 и 2 + 4 - 5.

Данные модели применялись автором в индивидуальной коррекционной работе с младшими школьниками. Они позволяют создать мотивацию к решению примеров и попутно тренировать моторику руки (при проведении прямых линий).

Узнать, как создавать такие системы, а также задать вопросы и высказать предложения по линейной модели решения арифметических выражений можно по электронному адресу: efremov@post.rzn.ru

ЛИТЕРАТУРА

1. Г.С.Альтшуллер, Б.Л.Злотин, А.В.Зусман, В.И.Филатов. Поиск новых идей: от озарения к технологии.-Кишинёв, 1989.
2. Г.Доман, Д.Доман. Дошкольное обучение ребёнка.-М.: Аквариум, 1995.
3. Б.П.Никитин. Ступеньки творчества или развивающие игры. -М.: Просвещение, 1991.
4. Е.Б.Голицына. Цветные примеры //Карапуз, № 16, 1997.
5. С.В.Ефремов. Таблица умножения Ефремова. -Рязань: Пресса, 2000.

04 Apr 2004